λ為線圈磁鏈、N為線圈匝數(shù)、i為流經(jīng)線圈的電流、Φ為線圈磁通。假如式(1)兩端以時間t為變量進(jìn)行微分計算，可得：

這便是大家所熟知的電感電壓降回路方程。

現(xiàn)在假設(shè)關(guān)于每個單獨的開關(guān)周期，在開關(guān)管導(dǎo)通狀態(tài)和關(guān)斷狀態(tài)，輸入輸出電壓都基本沒有變化，可以寫出導(dǎo)通狀態(tài)和關(guān)斷狀態(tài)時的L兩端的電壓。

導(dǎo)通狀態(tài)L兩端的電壓：

關(guān)斷狀態(tài)L兩端的電壓：

Vsat為開關(guān)管的導(dǎo)通壓降;VF為二極管的導(dǎo)通壓降。

由于Vsat和VF相關(guān)于Vi和Vo很小，這里忽略不計，可以得到：

可以看出Von和Voff都是常數(shù)，即關(guān)于

不論在導(dǎo)通狀態(tài)還是在關(guān)斷狀態(tài)都有：

為常數(shù)，所以可以用替換，代入式(4)并整理得：

可以認(rèn)為Δi就是電感線圈中的紋波電流，將導(dǎo)通和關(guān)斷狀態(tài)時的時間和電壓式(2)和式(3)代入上式，分別寫出導(dǎo)通狀態(tài)和關(guān)斷狀態(tài)時的紋波電流表達(dá)式：

Δion為導(dǎo)通狀態(tài)紋波電流；ton為導(dǎo)通時間；Δioff為關(guān)斷狀態(tài)紋波電流；toff為關(guān)斷時間。

在電源穩(wěn)定工作時，

ΔiL為線圈上紋波電流的絕對值。將式(5)和式(6)代入式(7)，整理得：

進(jìn)而得出：

fs為開關(guān)頻率。

將式(8)代入式(5)，得：

式(9)即為紋波電流的表達(dá)式。

2、紋波電壓計算

注意到在輸出部分，電感電流在電容C和負(fù)載之間分割，有：

設(shè)在穩(wěn)態(tài)下，輸出到負(fù)載的電流不變。所以有：

這也是一種近似，因為就算是負(fù)載恒定不變，由于電壓紋波的影響，電流也會改變的，但由于這個變化量和ΔiL相比很小，所以在此忽略。假如不忽略，也可以推導(dǎo)出更復(fù)雜的表達(dá)式。ΔiC加之于C就會出現(xiàn)紋波電壓。

首先計算第一部分。當(dāng)ΔiC流過理想電容C時，在C兩端出現(xiàn)的電壓變化：

取積分下限為ton/2，積分上限為toff/2，計算積分得：

計算第二部分，關(guān)于一般電容，都具有串聯(lián)等效電感和串聯(lián)等效電阻(其實還有并聯(lián)等效絕緣電阻)。串聯(lián)等效電感只在較高頻率時起用途，在分析開關(guān)頻率時可以將其忽略，但必須考慮的是串聯(lián)等效電阻ESR.電流ΔiC流過ESR時，會在ESR兩端出現(xiàn)電壓降，其值為：

ΔVESR也會作為紋波的一部分表現(xiàn)在輸出端上，所以總的紋波表達(dá)式為式(10)和式(11)的和，即：

Vro為總紋波;ESR為C的等效串聯(lián)電阻。

式(12)即是Buck類型開關(guān)電源的紋波電壓的近似表達(dá)式，其中的每個變量都是影響紋波的因素，調(diào)整這些變量就是調(diào)整紋波的重要方法。

影響紋波的因素分析及抑制措施

根據(jù)式(12)，逐一分析影響紋波電壓的因素

1)首先觀察括號內(nèi)的因素：試取一個典型的值計算一下，如fs=300kHz，C=470μF，可知為

盡管關(guān)于ESR的計算要考慮很多因素，一般情況下，電解電容和若干陶瓷電容并聯(lián)后的等效電阻ESR在十幾到幾十mΩ之間，由此可見ESR是紋波出現(xiàn)的重要因素，并且C取值的新增不會顯著改變紋波。

2)其次觀察等式右邊的前半部分

假如L或者fs增大，則Vro變小，可以減小紋波，即增大電感的值和提高開關(guān)頻率可以降低紋波。

3)最容易忽略的是輸出電壓和紋波的關(guān)系?？疾霽o對Vro的變化率。

在所有其他因素都不改變的條件下，將Vro對Vo求導(dǎo)，可得：

其中：

令

此時電源輸出的紋波最大。

Vo無論大于還是小于這個值，紋波都將減小。由該規(guī)律可以推算輸出電壓調(diào)整的電源模塊的紋波。

4)在實際工作中，一切可以調(diào)整的因素都是相對穩(wěn)定的，并且?guī)в幸欢ǖ膶嶋H工作誤差。因此在考慮開關(guān)頻率、L和C的取值的時候，要考慮干擾因素，選取受到很多因素影響的一個折中的結(jié)果。調(diào)整這些取值要考慮其他制約因素，下面列舉一些制約因素，在調(diào)整參數(shù)時要注意：

a)提高開關(guān)頻率將使系統(tǒng)功耗增大，電源效率降低，溫度升高，帶來散熱問題。

b)開關(guān)頻率受到開關(guān)管、控制芯片、二極管及其他因素的限制，不能無限提高。

c)提高L的值會使電感體積新增，成本新增，而電感的選擇面是比較窄的。

d)無論是修改L、C或是開關(guān)頻率，都要注意電源的穩(wěn)定性。

通過上述分析可以得知，降低ESR可以降低紋波干擾，即在實際通常使用電解和若干瓷片電容并聯(lián)的方法降低輸出C的ESR，進(jìn)而降低紋波干擾。

結(jié)語

本文通過對Buck電路中元器件的計算公式，推導(dǎo)出紋波電壓、電流的計算公式。根據(jù)影響因素，對電感量、電容量的選擇進(jìn)行分析比較，從而得出紋波的抑制方法。然而問題并沒有完全解決，下面的問題更加值得關(guān)注與了解：

1)各類電解電容和各類薄膜電容的ESR特性是什么；

2)各類電容的ESR受什么因素的影響；

3)如何估算電容并聯(lián)的ESR；

4)輸出電容的相對位置對ESR有何影響。

前兩個問題可以通過基本的性能實驗求解，第三個問題則要使用解析和仿真的方法來進(jìn)行解決，而第四個問題就要加強(qiáng)基礎(chǔ)和理論深入的研究。