S導(dǎo)通時，對電感列狀態(tài)方程有L(dil/dt)=Uin-Uo(1)

S斷開，D1續(xù)流導(dǎo)通時，狀態(tài)方程變?yōu)長(dil/dt)=-Uo(2)

占空比為D時，一個開關(guān)周期過程中，式(1)及式(2)分別持續(xù)了DTs和(1-D)Ts的時間(Ts為開關(guān)周期)，因此，一個周期內(nèi)電感的平均狀態(tài)方程為L(dil/dt)=D(Uin-Uo)+(1-D)(-Uo)=DUin-Uo(3)

穩(wěn)態(tài)時=0，則DUin=Uo。這說明穩(wěn)態(tài)時輸出電壓是一個常數(shù)，其大小與占空比D和輸入電壓Uin成正比。

由于電路各狀態(tài)變量總是圍繞穩(wěn)態(tài)值波動，因此，由式(3)得L[d(il+il')/dt]=(D+d)(Uin+Uin')-(Uo+Uo')(4)

式(4)由式(3)的穩(wěn)態(tài)值加小信號波動值形成。上標為波浪符的量為波動量，d為D的波動量。式(4)減式(3)并略去了兩個波動量的乘積項得

L(dil'/dt)=DUin'+dUin-Uo'(5)

由圖1，又有iL=C(duc/dt)+Uo/R0(6)

Uo=Uc+ReC(duc/dt)(7)

式(6)及式(7)不論電路工作在哪種狀態(tài)均成立。由式(6)及式(7)可得iL+ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo+CRo(duo/dt))(8)

式(8)的推導(dǎo)中假設(shè)Re

式(9)減式(8)得iL+ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo+CRo(dUo/dt))(10)

將式(10)進行拉氏變換得iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1+sCRo)/(1+sCRe)](11)

(s)=(11)一般認為在開關(guān)頻率的頻帶范圍內(nèi)輸入電壓是恒定的，即可假設(shè)=0并將其代入式(5)，將式(5)進行拉氏變換得

sLiL'(s)=d(s)Uin-Uo'(s)(12)

由式(11)，式(12)得Uo'(s)/d(s)=Uin[(1+sCRe)/(s2LC+s(ReC+L/Ro)+1](13)

iL'(s)/d(s)=[(1+sCRo)/s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]·Uin/Ro(14)

式(13)，式(14)便為Buck電路在電感電流持續(xù)時的控制-輸出小信號傳遞函數(shù)。

電壓模式控制(VMC)

電壓模式控制方法僅采用單電壓環(huán)進行校正，比較簡單，容易實現(xiàn)，可以滿足大多數(shù)情況下的性能要求，如圖2所示。

圖2中，當(dāng)電壓誤差放大器(E/A)增益較低、帶寬很窄時，Vc波形近似直流電平，并有D=Vc/Vs(15)、d=Vc'/Vs(16)

式(16)為式(15)的小信號波動方程。整個電路的環(huán)路結(jié)構(gòu)如圖3所示。圖3沒有考慮輸入電壓的變化，即假設(shè)Uin=0。圖3中，(一般為0)及分別為電壓給定與電壓輸出的小信號波動;KFB=UREF/Uo，為反饋系數(shù);誤差e為輸出采樣值偏離穩(wěn)態(tài)點的波動值，經(jīng)電壓誤差放大器KEA放大后，得KMOD為脈沖寬度調(diào)制器增益，KMOD=d/=1/Vs;KpWR為主電路增益，KpWR=/d=Uin;KLC為輸出濾波器傳遞函數(shù)，KLC=(1+sCRe)/[S2LC+s(ReC+L/Ro)+1]。

在已知環(huán)路其他部分的傳遞函數(shù)表達式后，即可設(shè)計電壓誤差放大器了。由于KLC供應(yīng)了一個零點和兩個諧振極點，因此，一般將E/A設(shè)計成pI調(diào)節(jié)器即可，KEA=Kp(1+ωz/s)。其中ωz用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，一般取為KLC零極點的1/10以下;Kp用于使剪切頻率處的開環(huán)增益以-20dB/十倍頻穿越0dB線，相角裕量略小于90°。

VMC方法有以下缺點：

1)沒有可預(yù)測輸入電壓影響的電壓前饋機制，對瞬變的輸入電壓響應(yīng)較慢，要很高的環(huán)路增益;

2)對由L和C出現(xiàn)的二階極點(出現(xiàn)180°的相移)沒有構(gòu)成補償，動態(tài)響應(yīng)較慢。

VMC的缺點可用下面將要介紹的CMC方法克服。

平均電流模式控制(AverageCMC)

平均電流模式控制含有電壓外環(huán)和電流內(nèi)環(huán)兩個環(huán)路，如圖4所示。電壓環(huán)供應(yīng)電感電流的給定，電流環(huán)采用誤差放大器對送入的電感電流給定(Vcv)和反饋信號(iLRs)之差進行比較、放大，得到的誤差放大器輸出Vc再和三角波Vs進行比較，最后即得控制占空比的開關(guān)信號。圖4中Rs為采樣電阻。關(guān)于一個設(shè)計良好的電流誤差放大器，Vc不會是一個直流量，當(dāng)開關(guān)導(dǎo)通時，電感電流上升，會導(dǎo)致Vc下降;開關(guān)關(guān)斷，電感電流下降時，會導(dǎo)致Vc上升。電流環(huán)的設(shè)計原則是，不能使Vc上升斜率超過三角波的上升斜率，兩者斜率相等時就是最優(yōu)。原因是：假如Vc上升斜率超過三角波的上升斜率，會導(dǎo)致Vc峰值超過Vs的峰值，在下個周波時Vc和Vs就可能不會相交，造成次諧波振蕩。

采用斜坡匹配的方法進行最優(yōu)設(shè)計后，pWM控制器的增益會隨占空比D的變化而變，如圖5所示。

當(dāng)D很大時，較小的Vc會引起D較大的改變，而D較小時，即使Vc變化很大，D的改變也不大，即增益下降。所以有d=DV'/Vs(17)

不妨設(shè)電壓環(huán)帶寬遠低于電流環(huán)，則在分析電流環(huán)時Vcv為常數(shù)。當(dāng)Vc的上升斜率等于三角波斜率時，在開關(guān)頻率fs處，電流誤差放大器的增益GCA為GCA[d(iLRs)/dt]=GCA(Vo/L)Rs=Vsfs(18)、GCA=Vc'/(iL'Rs)=VsfsL/(UoRs)(19)

高頻下，將式(14)分子中的“1”和分母中的低階項忽略，并化簡，得iL'(s)=[d(s)Uin]/sL(20)

由式(17)及式(20)有(iL'Rs)/Vc'=[Rsd(s)Uin/(sL)]/[d(s)Vs/D]=(RsUinD)/(sLVs)(21)

將式(19)與式(21)相乘，得整個電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(RsUinD/sLVs)·(VsfsL)/(UoRs)=fs/s(22)

將s=2πfc代入上式，并令上式等于1時，可得環(huán)路的剪切頻率fc=fs/(2π)。因此，可將電流環(huán)等效為延時時間常數(shù)為一個開關(guān)周期的純慣性環(huán)節(jié)，如圖6所示。顯然，當(dāng)電流誤差放大器的增益GCA小于最優(yōu)值時，電流響應(yīng)的延時將會更長。

GCA中一般要在fs處或更高頻處形成一個高頻極點，以使fs以后的電流環(huán)開環(huán)增益以-40dB/dec的斜率下降，這樣雖然使相角裕量稍變小，但可以消除電流反饋波形上的高頻毛刺的影響，提高電流環(huán)的抗干擾能力。低頻下一般要加一個零點，使電流環(huán)開環(huán)增益變大，減小穩(wěn)態(tài)誤差。

峰值電流模式控制(peakCMC)

平均CMC由于要采樣濾波電感的電流，有時顯得不太方便，因此，實踐中經(jīng)常采用一種變通的電流模式控制方法，即峰值CMC，如圖8所示。電壓外環(huán)輸出控制量(Vc)和由電感電流上升沿形成的斜坡波形(Vs)通過電壓比較器進行比較后，直接得到開關(guān)管的關(guān)斷信號(開通信號由時鐘自動給出)，因此，電壓環(huán)的輸出控制量是電感電流的峰值給定量，由電感電流峰值控制占空比。

峰值CMC控制的是電感電流的峰值，而不是電感電流(經(jīng)濾波后即負載電流)，而峰值電流和平均電流之間存在誤差，因此，峰值CMC性能不如平均CMC。一般滿載時電感電流在導(dǎo)通期間的電流增量設(shè)計為額定電流的10%左右，因此，最好情況下峰值電感電流和平均值之間的誤差也有5%，負載越輕誤差越大，特別是進入不持續(xù)電流(DCM)工作區(qū)后誤差將超過100%，系統(tǒng)有時可能會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。在剪切頻率fc以下，由圖6可知平均CMC的電流環(huán)開環(huán)增益可升到很高(可以>1000)，電流可完全得到控制，但峰值CMC的電流環(huán)開環(huán)增益只能保持在10以內(nèi)不變(峰值電流和平均值之間的誤差引起)，因此，峰值CMC更適用于滿載場合。

峰值CMC的缺點還包括對噪音敏感，要進行斜坡補償解決次諧波振蕩等問題。但由于峰值CMC存在逐周波限流等特有的優(yōu)點，且容易通過脈沖電流互感器等簡單辦法復(fù)現(xiàn)電感電流峰值，因此，它在Buck電路中仍然得到了廣泛應(yīng)用。

結(jié)語

采用平均狀態(tài)方程的方法可以得到Buck電路的小信號頻域模型，并可依此進行環(huán)路設(shè)計。電壓模式控制、平均電流模式控制和峰值電流模式控制方法均可用來進行環(huán)路設(shè)計，各有其優(yōu)缺點，適用的范圍也不盡相同。